傅里叶级数逼近 — 用正弦/余弦波叠加逼近任意周期函数

下图为傅里叶系数幅度谱：|aₙ|（蓝，cos 项）与 |bₙ|（红，sin 项）。增大 N 可看到级数逐项逼近；在间断点处会出现「吉布斯现象」的过冲。

泰勒级数逼近 — 用多项式在展开点附近逼近函数

灰色曲线为原函数，彩色曲线为 n 阶泰勒多项式。项数越多、离展开点越近，逼近越精确；观察 ln(1+x) 与 1/(1−x) 的收敛半径限制。

函数与它的导数 — 斜率 凹凸 曲率变化

f′ 表示切线的斜率（正/负/零点对应增减与极值），f″ 表示凹凸性，f‴ 表示曲率变化。拖动「切点」滑块观察切线随位置的变化。

定积分 = 曲线下的面积 — 用矩形近似，N → ∞ 时趋于精确值

面积在 x 轴上方为正、下方为负。增大 N 观察黎曼和收敛到精确积分值。

傅里叶变换：时域 ↔ 频域 — 快速傅里叶变换（FFT）

上图为时域信号（蓝）与仅保留前 K 个频率分量后逆变换重建的波形（红）；下图为单边幅度谱 |X[k]|。增大 K 可重建出更接近原始信号的波形。

牛顿迭代求根 — xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) / f′(xₙ)

在 xₖ 处作曲线的切线，切线与 x 轴的交点就是下一次近似 xₖ₊₁。不同初值可能收敛到不同根，也可能发散。